Matematicas Financieras. Renta Constante Perpetua Pospagable y Prepagable

Pospagable

Es una renta de duracion infinita, en la que los importes son siempre iguales, al igual que las rentas temporales pueden ser pospagables o prepagables, al final u origen de los subperiodos.

Este tipo de rentas no tienen valor final, ya que nunca finalizan.

Para obtener el valor actual, descontamos cada pago / cobro al momento inicial y los sumamos todos, obteniendo con una renta unitaria la siguiente formula:

APo=1/i

Ejemplo: Calcular el valor actual de una renta perpetua pospagable de 1 um, con un interes anual del 21%.

APo = 1 / 0.21 = 4.76 um

Si en vez de una renta unitaria, es una renta de importe C (constante), la formula sera:

Vo = C * APo = C / i

Ejemplo: Calcular el valor actual de una renta perpetua semestral pospagable de 1400 um, con un interes anual del 15%. 

Pasamos el interes a semestral : 1 + i = (1 + i2) ^ 2 

1 + 0.15 = (1 + i2) ^ 2

 i2 = 0.0723 = 7.23%

Vo = 1400 / 0.0723 = 19363.76

Prepagable

Para el caso de renta perpetua prepagable, descontamos al momento inicial y sumamos todos, con lo que obtenemos la siguiente formula:

Ao = (1 + i) / i

La relacion entre el valor actual de una renta perpetua pospagable y el de una renta perpetua prepagable es:

Aopre = (1 + i) * Aopos

Ejemplo. Renta perpetua anual prepagable de 1 um con un tipo de interes anual del 12%.

Ao = (1 + 0.12) / 0.12 = 9.33 um

Si la renta es de importe constante, la formula del valor actual sera:

Vo = C * Ao = C * (1 + i) / i

Ejemplo. Calcular el valor actual de una renta perpetua anual prepagable de 900 um, con un tipo de interes anual del 9%:

 Vo = 900 * (1 + 0.09) / 0.09 = 10900 um

Matematicas Financieras. Renta Constante Temporal Prepagable

Los importes de capital se generan al comienzo de cada sub-periodo, como por ejemplo un contrato de alquiler por 5 años con pago mensual al comienzo de cada mes.

Descontando todos los pagos al momento inicial, obtenemos:

    Äo = (1+i) * ((1-(1+i) ^-n) / i)

Podemos relacionar este valor con el valor actual de una renta pospagable con la siguiente formula:

     Äo = (1+i) * Ao

Ejemplo: Calcular el valor actual de una renta anual de 1 um durante 6 años con un tipo de interes del 18% anual.

    Äo = (1+0.18)*((1-(1+0.18)^-6)/0.18)= 4,127 um

Para calcular el valor final en este caso de prepagable, capitalizamos al momento final y llegamos a:

    Äf = (1+i) * (((1+i) ^ n -1) / i)

Podemos tambien relacionar este valor con el valor final de una renta pospagable de la siguiente forma:

    Äf = (1+i) * Af

Ejemplo: Calcular el valor final de la renta del ejemplo anterior.

    Ä = (1+0.18) * (((1+0.18) ^ 6 - 1) / 0.18) =  11.14 um

(alt+142)

Para obtener su valor cuando la renta no es unitaria, procedemos a multiplicar por su cuantia:

    Vo = C * Äo

    Vf = C * Äf

Calcular el valor actual y final de una renta semestral prepagable de 1200 um durante 6 años a un tipo de interes del 12% anual.

    debemos pasar el interes a semestral, el periodo tambien lo pasamos a semestral, siendo t = 6 años * 2 semestres = 12 semestres

    interes semestral i2 => 1 + 0.12 = (1+i2)^2 (la potencia pasa como raiz al otro lado)

    i2 = 5.83%

    Vo = 1200*(1+0.0583)*((1-(1+0.0583)^-12)/0.0583) = 10747.08 um

    Vf = 1200*(1+0.0583)*(((1+0.0583)^12 - 1) / 0.0583) = 21212.70 um

Matematicas Financieras. Renta Constante Temporal Pospagable

Es de duracion determinada, los pagos van al final de cada subperiodo.

Si tenemos una sucesion de pagos unitarios en n-periodos:

periodos    1    2    3    4        n-1    n

 

pagos        1    1    1    1        1        1 

Debemos llevar cada pago al momento inicial, aplicando descuento compuesto.

Cf = Co *( 1 + d ) ^ -t

Cf = Co / ( 1 + d) ^ t

Sumando y simplificando todos los importes descontados llegamos a la siguiente formula:

Ao = ( 1- ( 1 + i ) ^ -n ) / i

Ejemplo: Calcular el valor actual de una renta anual de 1 um durante 5 años con un tipo de interes del 14%.

Ao = ( 1 - ( 1 + 0.14) ^ -5 ) / 0.14 = 3.43 um

Para calcular el valor final hay que capitalizar todos los importes al momento final con la ley de capitalizacion compuesta.

Cf = Co * ( 1 + i) ^ t

Sumando todos los importes en el momento final, llegamos a la siguiente formula:

Af = (( 1 + i ) ^ n - 1) / i

Ejemplo: Igual que el anterior pero obtener el valor final.

Af = ((( 1 + 0.14 ) ^ 5) - 1) / 0.14 = 6.61 um

El valor inicial y final se relacionan con la siguiente formula:

Af = Ao * ( 1 + i ) ^ n

Los plazos, tipo de interes e importes deben ir referidos a la misma base temporal.

Como las rentas son proporcionales y los calculos que hemos efectuados van referidos a una unidad monetaria, podemos aplicar la siguiente formula si los terminos son constantes.

Vo = C * Ao = C * ( ( 1- ( 1 + i ) ^ -n ) / i )

Para el valor final aplicamos el mismo razonamiento:

Vf = C * Af = C * ( (( 1 + i ) ^ n - 1) / i )

Ejemplo: Calcular el valor actual y final de una renta anual pospagable de 1200 um, durante 4 años, con un tipo de interes del 11%.

Vo = 1200 * (( 1- ( 1 + 0.11)^-4) / 0.11 = 3722.93

Vf = 1200 * ((( 1 + 0.11 )^ 4 - 1 ) / 0.11 = 5651.68

Matematicas Financieras. Rentas

Renta fianciera es una serie de capitales distribuidos a lo largo de un periodo de tiempo, como podria ser un contrato de alquiler de un local durante 3 años con pagos mensuales de 400 um.

Una renta financiera se compone de los siguientes elementos:

    1. Termino de la renta, importe que se paga en cada momento, ej alquiler mensual 400 um.

    2. Periodo de maduracion, subperiodo en el que se realiza el cobro / pago, en el ejemplo el mes.

    3. Duracion de la renta, periodo total, en el ejemplo los 3 años.

Valor capital es un importe equivalente al total de la renta en un momento concreto. Se puede calcular en cualquier momento, (inicial = valor actual, final = valor final, ...), los importes varian segun el tiempo, pero son equivalentes si se comparan en un mismo periodo de tiempo.

Para que 2 rentas sean equivalentes, sus valores de capital deben ser los mismos en cualquier momento de tiempo.

Las rentas cumplen la proporcionalidad, el valor de una renta X en iguales condiciones es del doble que otra renta X/2 en las mismas condiciones; tambien cumple la adicion, ya que se puede descomponer en sub rentas y la suma de estas es la renta total.

Se pueden clasificar segun:

    Duracion 

        Temporales. Duracion conocida y finita

        Perpetuas. Sin fin  

    Importe

        Constantes. Misma cantidad

        Variable. Varia la cantidad de un periodo a otro

    Periodos

        Discreta. Periodos finitos

        Continua. Flujo continuo de capital

        Periodica. Subperiodos con igual duracion

        No periodica. Varia la duracion de los subperiodos

    Momento de pago

        Prepagable. Al principio del periodo

        Postpagable. Al final del periodo

 

Matematicas Financieras. Ejercicios descuentos con Excel

 

Matematicas Financieras. Descuento Compuesto.

Esta ley es la inversa de la ley de capitalizacion compuesta, si obtenemos el capital final con el descuento compuesto y este importe lo capitalizamos por capitalizacion compuesta, obtendremos el capital inicial.

Se puede utilizar en operaciones de corto plazo, medio y largo, al igual que la capitalizacion compuesta.

D = Co * (1 - (1 + d) ^ -t)

Cf = Co - D

Cf = Co - (Co * (1 - (1 + d) ^ -t))

Cf = Co * (1 + d)^-t

Ejemplo. Calcular los intereses de descuento y el capital final, por anticipar un capital de 7000 um, durante 6 meses a un tipo de interes del 15%.

D = 7000 * (1 - (1.15)^-0.5) =  472.47 um

Cf = Co - D = 7000 - 472.47 = 6527.53 um

Realizar prueba con el ejemplo anterior, de la inversa con capitalizacion.

Cf = Co * (1+i)^n
        i = 17.65%
        Cf = 6527.53 * (1+17.65%)^0.5 =7080.10

Ejercicio 1. Calcular importe de descontar un capital de 1500 um a un tipo de interes del 13% por un plazo de 4 meses.

        D = 59.88 um
        N = 1440.12 um

Matematicas Financieras. Ejercicios capitalizacion compuesta con Excel.